Une quantité finie de petites réflexions sur l’Infini : la forme de l’univers

Par la communauté Physique 24 mai 2017

Une quantité finie de petites réflexions sur l’Infini : la forme de l’univers

L’infini… C’est grand hein ?

Je ne prétendrai pas vous en faire découvrir tous les aspects, mais au moins vous ouvrir à ceux qui m’ont fasciné. Que l’on s’intéresse plus à Hegel, Kant ou Cantor, on voit que les définitions diffèrent.

Attention, des maths !

De façon purement mathématique, l’infini se définit plutôt bien. Et là, il va falloir éclaircir quelque chose si jamais vous vous êtes dit « Cette phrase est un peu paradoxale. ». Infini et indéfini sont deux notions qui n’ont aucun lien.

L’indéfini : on ne sait pas. L’infini : c’est trèèèès grand, mais on le sait. Imaginez que vous sommez des nombres entiers sans jamais vous arrêter. Ça tend vers l’infini. En gros, vous faîtes  {1 + 2 + 3 + ... + 1000000 + ...} et ce, sans jamais vous arrêter.

Bref mathématiquement, on distingue l’infini vers les positifs et les négatifs et on sait très bien ce que c’est. On distingue aussi l’infinitésimal : lorsqu’on se rapproche du nombre zéro, sans jamais l’atteindre (0,0000000000…00001, ce n’est pas 0).

Bref aperçu philosophique

D’un point de vue philosophique, souvent lié à Dieu, l’infini est une notion extrêmement complexe et abstraite que l’on ne développera pas spécialement ici. Les philosophes tentent d’établir un lien entre l’infini mathématique et une possible existence de l’infini dans notre Univers.

Globalement, on s’y interroge aussi sur l’infinitésimal surtout lorsqu’on parle de matière et d’atome. Les principaux philosophes qui se sont intéressés à tout ça sont chronologiquement : Pythagore, Héraclite, Démocrite, Zénon, Aristote, Scot, Galilée, Descartes, Leibniz, Kant, Hegel, Cantor et Russel. D’ailleurs, beaucoup de ces philosophes sont mathématiciens, ce qui n’est pas rare du tout à cette époque.

Enfin, notre Univers

D’un point de vue physique, on est proche des mathématiques. Mais globalement, dans notre système, quand quelque chose tend vers l’infini : soit ça explose, soit ça part loooooin. Par exemple, si l’intensité d’un gadget électronique tend vers l’Infini, le système va saturer ou fondre.

Mélangeons désormais physique et métaphysique. Nous allons trouver ensemble la forme de l’Univers et déjà ça ce n’est pas nécessairement évident.

L’Univers est un peu le Tout dans lequel on vit, ce regroupement de planètes, d’étoiles, de trous noirs, de systèmes solaires, etc. Le vide qui nous entoure fait aussi partie de notre Univers. Mais l’Univers, d’après des éminentes théories scientifiques, serait en constante expansion. Mais qui dit expansion, dit taille et forme. Vivons-nous dans une sphère qui reposerait dans un ensemble encore plus grand appelé Néant ?

L’univers est-il fini ou infini ? La question est purement et simplement métaphysique. Si l’on trouve une borne, une barrière, une extrémité, c’est réglé ! L’Univers est fini. Si l’on ne trouve pas de bords… peut-être qu’on n’a simplement pas cherché assez loin, pas de chance. En gros, il est littéralement impossible de démontrer que l’Univers est infini par une simple observation.

Pac-Man le physicien

Gardons cette définition pour la beauté du raisonnement qui va suivre et la mise à mal de votre cerveau. Essayez de bien imaginer et de répondre aux petites questions avant de lire la suite.

Visualisons un monde en 2D. Par exemple, la carte de Pac-Man ou du Snake (oui ça date).

Cet univers est infini : quand on se déplace dans l’un des tunnels à gauche ou à droite, on réapparaît instantanément de l’autre côté. Vous allez avoir besoin de bien visualiser (plus bas, je vous mets une animation issue de Wikipédia qui vous fera tout comprendre en cas de difficulté).

Imaginez bien le monde Pac-Man face à vous sur une feuille de papier. Si Pac-Man, fuyant un fantôme rouge, se rue vers le bord de droite de la feuille, alors il apparaît à la même hauteur sur le bord gauche. Donc, si on suppose qu’il ne s’est pas téléporté mais qu’il a tout simplement été tout droit. Comment fait-on ? Rien de plus simple, il suffit de relier les bords droit et gauche de la feuille en faisant un rouleau (mathématiquement, c’est un cylindre) et alors il n’y pas plus de problème !

Passons maintenant au bord du haut et bord du bas de votre feuille devenue cylindre. Comment fait-on cette fois-ci ? De nouveau, à peine plus technique, on relie le bas du cylindre avec le haut. La forme obtenue est donc celle d’un Donut ! (Mathématiquement, on dit Tore, parce que Donut n’est pas assez sérieux).

Wikipédia à la rescousse :

Félicitation, vous venez de comprendre la forme de l’Univers de Snake, où chaque côté ramène le joueur instantanément au côté opposé !

Ah excusez-moi, je vous parlais de notre Univers à nous ? Allons-y, c’est le même raisonnement.

Big Bang cérébral : la forme de notre univers

Visualisons cette fois-ci un monde en 3D, en gros une boîte (un carré en 3D, mathématiquement c’est un parallélépipède ou un cube). Si vous foncez vers la facette de droite car vous êtes poursuivi par le fantôme bleu (le rouge s’est fait buter, fallait suivre), alors vous apparaissez sur celle de gauche (la facette opposée). Il vous faut donc les relier. Qu’est-ce que ça donne ? Petit indice, le raisonnement d’avant va vous aider.

Il suffit d’allonger la boîte et de la tordre pour obtenir… un Tore ! Mais un tore spécial car il est plat au-dessus, en dessous, sur l’extérieur et sur l’intérieur. En gros, c’est la forme d’une rondelle dans les boulons ou d’un Donut écrasé.

Bien, passons à la face supérieure. Il faut la relier à la face inférieure. Ainsi soit-il ! On relie. La forme devient assez complexe mais c’est encore imaginable : c’est comme un Donut mais qui serait fourré au chocolat. L’anneau du Tore est creux et renferme la facette intérieure ou extérieure selon votre visualisation.

Maintenant, il faut relier les deux faces restantes (intérieure et extérieure). Alors une idée ? Impossible en effet car l’une d’elle est enfermée dans le creux du tore (ou le chocolat du donut).

Du coup, ça ne fonctionne pas et c’est bien logique. Revenons sur Pac-Man, le monde était visualisé en 2D mais pour le faire exister il était nécessaire de voir un tore, donc en 3D. On gagne une dimension.

Notre monde, le cube de départ est déjà en 3D, on s’attend donc à un résultat en 4D. Or nous ne savons pas imaginer une quatrième dimension. Frustrant ?

Conclusion

Oui, nous sommes de pauvres êtres vectoriels dans un espace de dimension 3.

En deux mots : Passionné, Curieux. J'adore les sciences, surtout la physique et la biologie. Idéalement, j'aimerai bien plus m'intéresser aux neurosciences afin de mêler mes passions.
10 Comments
  1. Eric Augier

    Petite question : Est-ce que l'infiniment petit converge ? ce qui impliquerait que l'entropie diminue. Merci

    • Quentin Gcn

      Que veux-tu dire ? J'avoue que ta question me paraît un peu floue. Par exemple, est-ce que la somme des 1/k pour k variant de 1 à l'infini converge ? Auquel cas, la réponse est non. Une série convergente vers 0 ne garantit pas la convergence de la série associée (la somme des termes de la suite). Quant à l'entropie... Elle est n'a pas pour habitude de diminuer dans un système, bien au contraire.

  2. antonio de la vega

    Très bon article ! Tu ne serais pas en train de parler de la bouteille de Klein qui est justement une surface refermable ? https://www.mathcurve.com/surfaces/klein/klein.shtml

    • Quentin Gcn

      Je n'y faisais pas spécialement allusion mais c'est un sujet assez intéressant aussi. Après, faire de la topo dans un article explicatif et de vulgarisation n'est peut-être pas trop recommandé ;)

  3. Gradt

    Très bon article mêlant humour et légèreté tout en permettant de toucher du doigt des notions plus profondes. Cela donne envie de creuser le sujet. J'attends la suite !

    • quentingarcon

      Merci ! Les prochains ne devraient pas tarder !

  4. louisrubikraft

    Salutations ! Un article qui m'a appris beaucoup de choses, merci ! Une remarque : ton exemple en préliminaire pour expliquer ce qu'est l'infini ne me semble pas très approprié, puisque selon la méthode de sommation choisie, il est possible que la somme des entiers naturels soit égale à -1/12 (voir l'article sur le blog de Science Étonnante, qui explique bien les choses). On sait attribuer un diamètre à l'univers ; partant de là, comment peut-on dire qu'il est de taille infinie ? On pense aussi que son énergie n'est pas infinie (par exemple si j'ai bien compris la vidéo de Science Étonnante sur la gravité quantique à boucles, la température de n'univers ne diverge pas dans cette théorie).

    • quentingarcon

      Merci pour ton commentaire ! Cette histoire de -1/12 est une connerie liée à une erreur de sommabilite. Sur famille non sommable, tu peux même aller jusqu'à démontrer que pour tout x réel (ou imaginaire selon les termes de ta série), on peut trouver un ordre de sommation tel que ta série converge vers x. La Théorie des cordes bosoniques se sert de ce résultat mais le résultat n'est pas utilisé ni démontrable. Pour l'effet Casimir, je t'accorde un doute. Cependant une coïncidence ou un préfacteur du aux calculs d'échelle pourraient expliquer que ça marche bien avec cette valeur. En toute logique l'Univers n'a aucune raison d'être infini. Cependant c'est pour l'exercice de pensée que j'aime beaucoup partager cet exemple !

  5. Bast

    Hello article sympa, mais je ne suis pas d'accord avec le commentaire de 0.0000...infinité de 0...0001 ≠ 0. Sinon comment expliquer que si l'on tire une fleche sur une cible elle atteigne la cible, elle devrait parcourir la moitié du trajet puis la moitié de la moitié du trajet puis... Etc mais il lui resterait toujours la moitié du trajet restant a parcourir. Donc 0.0000...00001 = 0. Ou la petite demonstration classique: x = 0.99999... 10x = 9.9999999999... 10x = 9 + x 9x = 9 x = 1

    • Quentin

      Merci pour ton commentaire. Non non ne te méprend pas ! Je ne dis 0 virgule une infinité de 0 puis un 1. Je dis 0 virgule un nombre fini de 0 puis un 1. Par Exemple : 0,0000000000000000001. C'est de ça dont je parle. Je dis dans l'article que tu peux mettre autant de 0 que désiré, du moment que c'est un nombre fini. Sinon bien sûr qu'il est nécessaire de prendre la notion de limite et en effet 0,0000...{infinité de 0}...0001 = 0 Et c'est cool les paradoxes de Zénon ;)

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